Tarefa para o próximo sábado!
Quantos anagramas podemos formar a partir das letras da palavra CURIÓ?
Como já vimos, a permutação
simples de n elementos distintos é dada por Pn, então como na palavra CURIÓ
temos 5 letras distintas, o número de anagramas seria
igual a P5, ou seja, será igual a 5! que é igual a 120.
Quantos anagramas podemos formar
a partir das letras da palavra ARARA?
Note que embora esta palavra também
tenha cinco letras, agora temos apenas duas letras distintas. A letra A que ocorre 3 vezes e a letra R que ocorre 2 vezes. Como devemos
proceder nesta situação?
Vimos no caso da palavra CURIÓ, que a permutação de cinco letras distintas resulta em 120 possibilidades.
Como na palavra ARARA
a letra A ocorre três vezes, a permutação destas três
letras A é P3 = 3! = 6,
ou seja, se dividirmos 120 por 6
iremos obter 20 que é o número de permutações, já
desconsiderando-se as permutações entre as três letras A.
O mesmo iremos fazer em relação à
letra R, só que neste caso o número de permutações
desta letra é P2 = 2! = 2,
isto é, dividindo-se 20 por 2
temos como resultado 10, que é o número total de
permutações das letras da palavra ARARA, sem
considerarmos as permutações das letras A entre si, e
das letras R também entre elas mesmas.
Permutação com Elementos
Repetidos
A cada um dos agrupamentos que
podemos formar com certo número de elementos, onde ao menos um deles ocorre
mais de uma vez, tal que a diferença entre um agrupamento e outro se dê pela
mudança de posição entre seus elementos, damos o nome de permutação com
elementos repetidos.
Fórmula da Permutação com
Elementos Repetidos
Se em um dado conjunto um elemento
é repetido a vezes, outro elemento é repetido b vezes e assim sucessivamente, o número total de permutações
que podemos obter é dada por:
A resolução do exemplo com o uso da fórmula é....
Exemplos
Quantos
anagramas podemos obter a partir das letras da palavra PARAR?
Como a palavra PARAR
possui 5 letras, mas duas delas são repetidas duas
vezes cada, na solução do exemplo vamos calcular P5(2,
2):
Portanto:O número de anagramas que
podemos formar a partir das letras da palavra PARAR é igual 30.
Possuo
4 bolas amarelas, 3 bolas vermelhas, 2 bolas azuis e 1 bola verde. Pretendo
colocá-las em um tubo acrílico translúcido e incolor, onde elas ficarão umas
sobre as outras na vertical. De quantas maneiras distintas eu poderei formar
esta coluna de bolas?
Neste caso de permutação com
elementos repetidos temos um total de 10 bolas de
quatro cores diferentes. Segundo a repetição das cores, devemos calcular P10(4, 3, 2):
Então:Eu poderei formar esta coluna
de bolas de 12600 maneiras diferentes.
Dos
números distintos que são formados com todos os algarismos do número 333669,
quantos desses são ímpares?
Neste exemplo, número ímpares serão
aqueles terminados em 3 ou 9.
No caso dos números terminados em 3 devemos calcular P5(2, 2),
pois um dos dígitos três será utilizado na última posição e dos 5 dígitos restantes, teremos 2
ocorrências do próprio algarismo 3 e 2
ocorrências do 6:
Agora no caso dos números
terminados em 9 devemos calcular P5(3,
2), pois o dígito 9 será utilizado na
última posição e dos 5 dígitos que sobram, teremos 3 ocorrências do 3 e 2 ocorrências do dígito 6:
Como temos 30
números terminados em 3 e mais 10
terminados em 9, então no total temos 40
números ímpares.
Logo:Dos números formados, 40 deles
são ímpares.